Сколько треугольников на рисунке кошка
Мы все чертовски любопытны по своей природе, и нет ничего проще, чем поставить наши умы в тупик. Достаточно всего-то на первый взгляд простейшей задачки, и вот рабочие процессы тут же отодвинуты на второй план, никто не отвечает на телефонные звонки, дети кричат, но взрослые ни на что не реагируют. Сколько вы видите треугольников на изображении? Только не спешите, подумайте как следует. А теперь еще подумайте…
7 июня 2020 12:00
Эта банальная логическая задача стара как мир. Все очень просто: посчитайте каждый отдельный треугольник, затем сложите все различные комбинации маленьких треугольников и обязательно не забудьте про большую общую фигуру. Вы ведь так делаете? При всей своей простоте, эта задача всегда вызывает массу споров и сотни комментариев с ответами в диапазоне от четырех до 45 (боже, откуда столько?).
Давайте сначала вспомним из школьной программы, что же такое треугольник. В евклидовом пространстве это геометрическая фигура (он же многоугольник с фиксированным числом углов), образованная тремя отрезками (стороны треугольника), которые соединяют три точки (вершины треугольника), не лежащие на одной прямой. Возможно, мы повторно взорвем ваш мозг, но есть так называемый вырожденный треугольник, вершины которого таки лежат на одной прямой. Живите теперь с этим.
Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трех отрезков, проведенных из трех разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. В нашем случае есть две чевианы, которые спускаются из верхнего угла на нижнюю сторону большой фигуры. Благодаря треугольнику появилась тригонометрия, планиметрия, а еще используя эту простую фигуру, люди научились составлять карты, измерять участки и конструировать. Даже «Черный квадрат» Малевича должен был называться «Черный китайский треугольник», и не спрашивайте, почему. Казимир Северинович унес эту тайну с собой на тот свет. В общем, при всей своей простоте полезная штука. Но мы отвлеклись.
Итак, еще раз посмотрим на нашу задачу. Те из вас, кто везде торопится, выдают сразу варианты ответов: шесть треугольников, 16, 22. Многие насчитывают 18 искомых фигур. Кто подотошнее считает, что на изображении нет ни одной прямой линии, а некоторые углы — не углы вовсе. Ну, конечно, это же нарисовано от руки! Для таких тут вообще нет ни одного треугольника. Зануды. Если вы все еще не нашли ответ и пытаетесь прочитать его в этом тексте, то остановитесь и просто посчитайте чертовы треугольники.
Ладно, давайте не будем играть в «Поле Чудес», а посмотрим на задачу с точки зрения науки. Единственный способ образовать треугольники на рисунке — это если верхний угол является частью каждого треугольника. Основание треугольника должно быть одним из трех горизонтальных уровней ниже. Получается, три уровня, на каждом вы можете выбрать базу для шести разных способов построения фигуры. В сумме выходит восемнадцать или три раза по шесть треугольников. Все варианты научного решения так или иначе крутятся вокруг этого способа. И да, вы же не забыли посчитать треугольник у стрелочки? Ладно, это была шутка. Или все же посчитали?
Источник
5.3.2. Опишем проведенную работу при решении задач «на подсчет треугольников». В первых геометрических задачах будет применяться термин «взаимопроникающие фигуры», предложенный И.С. Якиманской. Вслед за ней взаимопроникающими мы называем такие фигуры, которые имеют часть общей площади: одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают [196].
Посмотрите на рис. 5.2, а: треугольник АВС можно разделить на составляющие его фигуры: треугольники АЕО, О DC, АОС и четырехугольник BEOD (рис. 5.2, б).
Можно рассмотреть и другие имеющиеся в треугольнике АВС треугольники: ABD, ЕВС, АЕС, ADC (рис. 5.2, в). В этом случае мы получаем «взаимопроникающие» фигуры.
Исследование И.С. Якиманской [196] было направлено на изучение того, как учащийся анализирует геометрический чертеж, какие фигуры выступают для него более явно, бросаются в глаза, а какие трудны для выделения, на что опирается учащийся при рассмотрении чертежа, какие умственные процессы обеспечивают возможность различного видения чертежа. Результаты, полученные И.С. Якиманской, очень интересны, к сожалению, их недостаточно используют при работе с учащимися.
Рис. 5.2
Задачи с взаимопроникающими элементами использовал в своей работе и В. А. Крутецкий. С помощью этих задач он исследовал особенности аналитико-синтетического восприятия геометрических фигур учащимися, в частности умения рассматривать и оценивать взаимопроникающие элементы геометрических фигур с различных точек зрения, выделять элементы фигур и фигуры из фона, включать один и тот же элемент в разные фигуры и соответственно давать им различную интерпретацию.
Рассмотрим некоторые задачи по подсчету треугольников с учетом взаимопроникающих фигур.
Задача 5.8. Сколько отрезков вы видите на рис. 5.3? Назовите их.
Задача 5.9. Сколько треугольников изображено на рис. 5.4? Назовите их.
Задача 5.10. Сколько углов вы видите на рис. 5.5? Назовите их.
Рис. 5.4
Рис. 5.5
В.А. Крутецкий ограничивал исследование тем, что фиксировал, «насколько полный ответ дают испытуемые, какую роль играют „видение” и „рассуждение”» [98].
Учитывая вышеизложенное, рассмотрим, как можно использовать «цепочки задач на подсчет треугольников» для выявления «геометрического зрения», уровней владения приемами анализа и синтеза, алгоритмических способностей учащихся, причем не будем ограничиваться только окончательным ответом, а приведем качественный анализ выполнения задания.
Б.М. Теплов подчеркивал, что «не следует вовсе исключать возможность количественного подхода при исследовании способностей. Он возможен, однако, только в том случае, когда он следует за качественным анализом, вытекает из него, им определяется» [171].
Количественная характеристика применялась нами при оценке:
- • геометрического зрения — насколько полно и точно учащийся увидел искомые фигуры; количество выделенных фигур из фона;
- • аналитико-синтетической деятельности — наличие и количество «идей» при решении задач, выбор наиболее рационального способа решения;
- • алгоритмические способности — количество шагов, приводящих к правильному решению.
Ниже приведены некоторые из предлагаемых учащимся заданий по подсчету треугольников и дан анализ их решения.
Задача 5.11. Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рис. 5.6.
Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от слу-
Рис. 5.6
чая 5.6, в к случаю, изображенному на рис. 5.6, г, но в случае 5.6, г усложняется «геометрический фон», т. е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае 5.6, в все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).
Оценка выполнения задания (а)
- 1. Если учащийся увидел на рис. 5.6, а большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т. е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.
- 2. Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.
Оценка выполнения задания (б)
На рис. 5.6, б изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.
Схема рассуждений и ход решения (в)
1. Воспроизведем рис. 5.6, в. Пронумеруем треугольники (рис. 5.7, а). Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть (рис. 5.7, б).
- 2. Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три (рис. 5.7, в).
- 3. Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть (рис. 5.7, г).
- 4. Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников, — один (рис. 5.7, а).
Всего получилось 16 треугольников.
Рис. 5.7
Оценка выполнения задания (в)
- 1. Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма — 2 балла.
- 2. Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников — 1 балл).
- 3. Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т. е. не увидел взаимопроникающих треугольников, — оценка 0 баллов.
Схема рассуждений и ход решения (г)
- 1. Сосчитаем треугольники в «нижней» части рис. 5.6, г, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников (рис. 5.8, а, б, в).
- 2. Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника, решение аналогично решению в случае а, треугольников тоже шесть (рис. 5.9, а, б, в).
Рис. 5.8
Рис. 5.9
Всего получилось: (3 + 2 + 1) + (3 + 2+ 1) = 12 треугольников.
Оценка выполнения задания (г)
- 1. Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) — оценка 3 балла.
- 2. Учащийся применил для решения алгоритм, не позволивший выделить все имеющиеся на рисунке треугольники — оценка 2 балла.
- 3. Учащиеся, сосчитавшие только треугольники на рис. 5.8, а, в и рис. 5.9, а, в, т. е. не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.
4. Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают О баллов.
Схема рассуждений и ход решения (д)
В этой задаче (как, впрочем, и в других) при подсчете числа треугольников без алгоритма есть опасность «потерять» треугольники, поэтому полезно обозначить треугольники цифрами (рис. 5.10).
- 1. Начнем подсчет с маленьких треугольников, их всего 12 (рис. 5.10).
- 2. Считаем треугольники, состоящие из трех маленьких (два маленьких треугольника образуют ромб), таких треугольников шесть (рис. 5.11).
Рис. 5.11
3. Четыре, пять, шесть, семь, восемь маленьких треугольников не образуют новых треугольников, а треугольников, состоящих из девяти маленьких треугольников, — два (рис. 5.12).
Рис. 5.12
Всего получилось 12 + 6 + 2 = 20 треугольников.
Оценка выполнения задания (д)
- 1. Учащиеся, предложившие алгоритм подсчета и сосчитавшие все треугольники, получают 3 балла.
- 2. Учащиеся, сосчитавшие все треугольники, но не предложившие алгоритм подсчета, получают 2 балла.
- 3. Учащиеся, увидевшие случаи, изображенные на рис. 5.11 и рис. 5.12, но пропустившие некоторые треугольники, получают 1 балл.
- 4. Учащиеся, не увидевшие случаи, изображенные на рис. 5.11, 5.12, получают 0 баллов.
Схема рассуждений и ход решения (е)
Эта задача самая сложная в цепочке, выявляющей «уровни видения» взаимопроникающих треугольников, так как в ней появляются треугольники, состоящие из треугольников и пятиугольника. Пронумеруем все элементы пятиугольника (рис. 5.13).
1. Десять маленьких треугольников (1-10) (рис. 5.13).
Рис. 5.13
- 2. Десять треугольников, состоящих из двух маленьких треугольников (1-2, 2-3,
Всего получилось 10 + 10 + 5 + 5 + 5 = 35 треугольников.
Оценка выполнения задания (д)
- 1. Учащийся увидел все взаимопроникающие треугольники, предложил алгоритм подсчета (не обязательно рассмотренный нами) — оценка 4 балла.
- 2. Учащийся увидел треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, 4 или 1, 2, 3, 5 и какие-то треугольники, соответствующие пп. 4 или 5, — оценка 3 балла.
- 3. Учащийся увидел треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, но не увидел ни одного треугольника, соответствующего пп. 4 и 5, — оценка 2 балла.
- 4. Учащийся увидел какие-то треугольники, соответствующие пп. 1, 2, 3, но не все — оценка 1 балл.
- 5. Учащийся увидел только треугольники, соответствующие п. 1, — оценка 0 баллов.
При рассмотрении предложенных в предыдущей задаче случаев видно, что можно пользоваться «методом проб и ошибок», но без подключения «анализа» (причем иногда довольно углубленного) успеха добиться трудно.
Задача 5.12. Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рис. 5.14.
Ответ: на рис. 5.14, а изображено 13 треугольников; 5.14,6 — 27 треугольников; 5.14, в — 47 треугольников; 5.14, г —27 треугольников; 5.14, д — 32 треугольника; 5.14, е — 48 треугольников.
Рис. 5.14
Источник